Die Familie Bernoulli gehört zu den bedeutendsten Gelehrtenfamilien der Basler Geschichte. Über mehrere Generationen brachte sie Mathematiker und Naturwissenschaftler hervor, deren Erkenntnisse bis heute nachwirken. Einer ihrer bekanntesten Vertreter war Jakob Bernoulli, der sich vor allem der Erforschung des Zufalls widmete.
Mit seinen Arbeiten prägte er im 17. Jahrhundert die Entwicklung der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung entscheidend. Seine Forschungen veränderten das mathematische Verständnis des Zufalls und zeigten, dass selbst hinter scheinbar unberechenbaren Glücksfällen mathematische Gesetzmässigkeiten stecken.
Ist auch das Glück am Ende nur Mathematik?
Glück ist ein abstrakter Begriff, den jeder Mensch etwas anders interpretiert. Für die einen bedeutet es, zur richtigen Zeit am richtigen Ort zu sein, für andere ist es ein unerwarteter Erfolg oder ein glücklicher Zufall. Betrachtet man solche Ereignisse jedoch aus mathematischer Sicht, steckt dahinter häufig eine bestimmte Wahrscheinlichkeit.
Ein anschauliches Beispiel dafür ist das Glücksspiel. Beim Roulette, Würfeln oder Kartenspielen lassen sich die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ergebnisse mathematisch bestimmen. Auch moderne Online-Casinos, die man auf Portalen wie Casino Groups findet, bieten Spiele, deren Ergebnisse durch Zufallszahlengeneratoren (RNG) bestimmt werden.
Bei einem Online-Slot beispielsweise wird das nächste Rundenergebnis mithilfe eines Algorithmus erzeugt. Das bedeutet natürlich nicht, dass Spieler das Ergebnis vorhersagen können. Die Berechnungen sind darauf ausgelegt, nicht vorhersagbare Ergebnisse zu liefern, und die internen Abläufe sind für Spieler nicht einsehbar.
So entsteht ein zufälliges Spielergebnis, dessen langfristige statistische Verteilung dennoch mathematisch berechnet werden kann. Damit zeigt sich bereits, dass Glück und Mathematik keineswegs Gegensätze sind.
Ein einzelnes Ereignis bleibt ungewiss, doch bei zahlreichen Wiederholungen lassen sich statistische Muster erkennen. Genau mit diesem Zusammenhang beschäftigte sich auch Jakob Bernoulli vor mehr als 300 Jahren.
Jakob Bernoulli und die Mathematik des Zufalls
Jakob Bernoulli beschäftigte sich mit einer Frage, die bis heute von großer Bedeutung ist. Wie lassen sich zuverlässige Aussagen über Ereignisse treffen, deren Ausgang nicht sicher vorhergesagt werden kann? Ihn interessierte dabei nicht nur die Berechnung einzelner Wahrscheinlichkeiten.
Er wollte auch herausfinden, ob sich aus wiederholten Beobachtungen allgemeine Gesetzmässigkeiten ableiten lassen. Geboren wurde Bernoulli 1655 in Basel. Seine Familie stammte ursprünglich aus Antwerpen und war über Frankfurt am Main in die Schweizer Stadt gelangt.
Auf Wunsch seines Vaters studierte Jakob zunächst Philosophie und Theologie, wandte sich jedoch zunehmend der Mathematik und Astronomie zu. 1687 wurde er Professor für Mathematik an der Universität Basel. Auch sein jüngerer Bruder Johann machte sich als Mathematiker einen Namen.
Zwischen den beiden entwickelte sich neben der wissenschaftlichen Zusammenarbeit allerdings eine ausgeprägte Rivalität.
Das Gesetz der grossen Zahlen
Jakobs bedeutendste Erkenntnis auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung war das später so bezeichnete Gesetz der grossen Zahlen. Es besagt vereinfacht, dass sich die beobachtete Häufigkeit eines zufälligen Ereignisses bei sehr vielen unabhängigen Wiederholungen seiner tatsächlichen Wahrscheinlichkeit annähert.
Bei einem fairen Münzwurf kann beispielsweise zehnmal hintereinander Kopf erscheinen. Nach einer Million Würfen dürfte der Anteil der Kopfergebnisse hingegen mit hoher Wahrscheinlichkeit wesentlich näher bei 50 % liegen. Für die damalige Mathematik war dieser Zusammenhang eine bahnbrechende Erkenntnis.
Zwar hatten sich bereits andere Gelehrte mit der Berechnung von Gewinnchancen beschäftigt, doch Bernoulli lieferte einen mathematischen Beweis dafür, wie sich aus einer grossen Zahl von Beobachtungen verlässliche Rückschlüsse auf unbekannte Wahrscheinlichkeiten ziehen lassen.
Wie bewies Bernoulli seine Erkenntnisse?
Seine Überlegungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung hielt Bernoulli in seinem Hauptwerk Ars Conjectandi (Die Kunst des Vermutens) fest, das allerdings erst 1713 nach seinem Tod veröffentlicht wurde. Darin beschäftigte er sich unter anderem mit der Frage, wie sich unbekannte Wahrscheinlichkeiten anhand wiederholter Beobachtungen bestimmen lassen.
Um seine Erkenntnisse mathematisch zu beweisen, verwendete er ein theoretisches Modell mit einer Urne, in der sich weisse und schwarze Kugeln befinden. Bei jeder gedachten Ziehung wird eine Kugel zufällig entnommen und anschliessend wieder zurückgelegt.
Ist das Verhältnis der Farben bekannt, lässt sich die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Ziehung berechnen. Bernoulli interessierte jedoch die umgekehrte Frage. Lässt sich aus vielen zufälligen Ziehungen auf die unbekannte Zusammensetzung der Urne schliessen?
Dafür untersuchte er mathematisch, wie sich die möglichen Ergebnisse bei zunehmender Anzahl von Ziehungen verteilen. Als Beispiel diente ihm eine Urne mit drei weissen und zwei schwarzen Kugeln. Der tatsächliche Anteil weisser Kugeln beträgt damit 60 %.
Bei wenigen Ziehungen kann das beobachtete Verhältnis erheblich davon abweichen. Je mehr Ziehungen insgesamt durchgeführt werden, desto wahrscheinlicher liegt der Anteil weisser Kugeln jedoch nahe bei den tatsächlichen 60 %.
Bernoulli konnte sogar berechnen, wie viele Ziehungen für eine bestimmte Genauigkeit erforderlich wären. In seinem Beispiel kam er auf rund 25.500 Ziehungen. Dabei würde der beobachtete Anteil weisser Kugeln mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 99,9 % zwischen 58 % und 62 % liegen.
Das Entscheidende an seinem Beweis war die mathematische Herleitung dieser Sicherheit. Damit zeigte Bernoulli, dass sich aus einer ausreichend grossen Zahl zufälliger Beobachtungen zuverlässige Rückschlüsse auf unbekannte Wahrscheinlichkeiten ziehen lassen.
Hatte Bernoulli recht?
Jakob Bernoulli hatte mit seinen Erkenntnissen tatsächlich recht. Sein Gesetz der grossen Zahlen gehört heute zu den grundlegenden Sätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und bildet eine wichtige Grundlage der modernen Statistik.
Dass sich bei zahlreichen unabhängigen Wiederholungen die beobachteten Häufigkeiten den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten annähern, ist längst nicht mehr nur eine theoretische Überlegung. Der Zusammenhang lässt sich durch mathematische Beweise, Computersimulationen und praktische Experimente nachvollziehen.
Im 18. Jahrhundert griffen Mathematiker seine Erkenntnisse auf und entwickelten sie weiter. Abraham de Moivre untersuchte beispielsweise, wie sich die Ergebnisse vieler Zufallsversuche verteilen, und beschrieb damit einen wichtigen Vorläufer der Normalverteilung.
Pierre-Simon Laplace baute diese Ansätze später zu einer umfassenderen Wahrscheinlichkeitstheorie aus. Im 19. Jahrhundert erweiterte der französische Mathematiker Siméon Denis Poisson Bernoullis Erkenntnisse und prägte die Bezeichnung „Gesetz der grossen Zahlen“.
Später gelang es Pafnuti Tschebyschow, den Satz unter allgemeineren Voraussetzungen zu beweisen. Damit war das Prinzip nicht mehr auf Versuche wie Münzwürfe oder Kugelziehungen beschränkt, sondern liess sich auf zahlreiche weitere statistische Fragestellungen übertragen.
Heute spielt Bernoullis Entdeckung unter anderem bei Meinungsumfragen, Qualitätskontrollen in der Industrie sowie in der wissenschaftlichen Forschung eine wichtige Rolle. Allerdings gilt weiterhin eine entscheidende Einschränkung.
Das Gesetz der grossen Zahlen sagt nichts darüber aus, welches Ergebnis beim nächsten einzelnen Versuch eintreten wird. Es beschreibt vielmehr, wie sich zufällige Ergebnisse über eine große Zahl von Wiederholungen verhalten.
Bernoulli hatte also nicht bewiesen, dass sich Glück vorhersagen lässt. Er zeigte vielmehr, dass der Zufall trotz seiner Unberechenbarkeit mathematischen Gesetzmässigkeiten folgt. Und diese Erkenntnis hat mehr als 300 Jahre wissenschaftlicher Weiterentwicklung überstanden.